Изчисляване здравината на материалите при въртене и налягане

[Иван Димов]

   Тъй-като при проектиране на въртящи се машини се налага изчисляване на здравината на материалите, предлагам лесен и бърз начин. Повечето въртящи се машини са цилиндрични, а силите са аналогични и за съдове под налягане. Сметките се налагат поради големите центробежни сили, които могат да разрушат машината и нанесат поражения на хората. Положението е същото и при съдовете под налягане - ако не са сметнати правилно, могат да се разрушат и нанесат поражения наоколо.
   Прилагам два файла с извеждането на формулите. Мислено разглеждам цилиндричния съд като две половини, свързани с две пружини. В мястото на пружините в действителност действат сили на опън на материала F_опън. Тази сила F_опън лесно се изчислява като сумата на всички радиално действащи сили се раздели на 6,28. След това като разделим F_опън на сечението k.d, ще получим напрежението на материала, което не трябва да надвишава стойностите G, дадени в справочниците за съответния материал. Значи трябва F_опън/(k.d)< G. За желязото G е от порядъка на 100 000 000 Ра, но за други материали стойностите са различни.

[Иван Димов]

   Тези дни ми се наложи да сметна якост на усукване на вал и установих, че има прекалено сложни формули за целта. Натъкнах се на множество понятия като относителен ъгъл на усукване, полярен инерционен момент на сечението, коравина на пръта при усукване, полярен съпротивителен момент и т. н. Отделих един ден на разни учебници и накрая реших и аз да се пробвам сам да пресметна якостта на усукване на вал. Оказа се проста работа. Постарах се да използвам вече всеизвестни буквени означения за по-лесно разбиране.
  Започвам с няколко встъпителни думи що е то еластична деформация. Вземам направо за пример една пружина. При разтягане тя се удължава и ако при отпускане пружината възвръща първоначалното си състояние, значи е еластична. Сега нещо интересно. Няма значение колко е дълга пружината, при едно и също натоварване разстоянието между две съседни нейни навивки е едно и също. С други думи, с каквато сила дърпаме пружината, със същата сила се дърпат едни други навивките на пружината. Друго интересно е, че един и същи товар разтегля дългите пружини повече от късите.
   В приложения файл съм начертал един усукан вал на "филийки". Усукването се характеризира с ъгъла на усукване Y. Този ъгъл е пропорционален на въртящия момент на усукването М и не зависи от дължината на вала. Това е точно така както е при пружината. Ъгъл Y е аналогичен на разстоянието между навивките на разтегнатата пружина. Дъгите на усукване da също са еднакви и са пропорционални на въртящия усукващ момент. Въртящият момент М при вала е аналогичен на силата на опън при пружината. При един и същи М имаме едно и също da без значение колко е дълъг вала. В изведената формула Y = rф/x  се вижда, че при М=const и Y=const (M и Y са пропорционални), с увеличаване на дължината х на вала, се увеличава ъгълът "фи". Това е като при пружината - колкото е по-дълга, толкова повече се разтегля при един и същи товар. А ако дължината х на вала е постоянна, а увеличаваме дебелината на вала (радиуса r), това ще доведе до намаляване на ъгъл "фи" при един и същи въртящ момент. Нека да запишем и закона на Хук при усукване
                                   Т(ус) = GY
   Ъгълът на усукване Y вече го споменахме по-горе, Т(ус) е напрежение на усукване или срязване и се мери в Паскали [Ра], а G е модул на еластично усукване (срязване).
   Сега да видим как изведох формулата за максималния допустим въртящ момент според здравината на материала на вала. На чертежа може да смятаме, че имаме кух вал или направо тънкостенна тръба. Отрязваме мислено най-дясната "филийка" на тръбата и я правим на плоскост с размери dx, dr и 2пr. Приемаме, че площта ds контактува със съседната "филийка" на тръбата. Ако дърпаме нашата плоскост със сила F, ще имаме нещо като триене със съседната площ ds. Силата F може да я изразя чрез напрежението Т на срязване (триене) -
                       F = T.ds = T.2пr.dr
   Тази сила, умножена по радиуса дава въртящия момент dM, действащ въртящо на нашата "тръбна филийка" (пръстен).     dM = F.r = T.2пr.r.dr
   Сега трябва да сумираме (интегрираме) всички концентрични пръстени с намаляващ радиус до нула ако имаме плътен (не кух) вал.
             Сумата(dM) = M = 2пТ.Сумата(r.r.dr)
   М = 2пТ.r.r.r/3     за r от нула до r за плътен (не кух) вал.
   Това е прост интеграл и всеки студент от първи курс може и сам да си го сметне. Като от радиус преминем към диаметри (2r = d), за крайния резултат получаваме
             М(въртящ) = пТ(D.D.D - d.d.d ) /12
    Тук  п= 3.14, а Т е Т(ус) - напрежението на усукване в Паскали. Ако валът е кух ще има и вътрешен диаметър d, освен външен диаметър D. При моята формула в знаменател получих 12, докато в учебник по съпромат числото е 16. Може да са направили някакви обобщения и затова да е така. Горната формула дава връзката между въртящия момент  М(въртящ), напрежението в материала    Т(ус) и геометричните размери на вала. Когато в тази формула сложим максимално допустимото напрежение на усукване (срязване), тогава ще получим и максимално допустимия въртящ момент за дадените размери. Като знаем Т(ус)max и за какъв въртящ момент проектираме дадената машина, лесно можем да сметнем с каква дебелина трябва да ни е валът. На практика избираме диаметър за вала, по-голям от изчисления за да се подсигурим от авария при евентуално претоварване.

[Иван Димов]

    Чудех се къде ми е грешката, че получавам 12 вместо 16 и я открих. При опита ми да изведа сам формулите съм гледал на напрежението на усукване Т(ус) като константа, а то не е. В периферията на вала напрежението е по-голямо и намалява линейно към оста (центъра) на вала. Напрежението е различно, защото дъгите на разтягане da в периферията на вала са по-големи от тези във вътрешността му. От закона на Хук можем да напишем Т = da.G ,  където Т е напрежението в Паскали, da е деформацията (разтягането на единица дължина от материала), а G е модул на еластичност и е характеристика, различна за всеки метал. Деформацията da = r.dφ/dx. Тук на dx можем да гледаме като на единица, все едно da = r.dφ. Прилагам като файл картинката с вече точната формула. Казахме че въртящият момент М е пропорционален на деформацията da без значение колко е дълъг валът. Значи постоянен М(въртящ) прави постоянно da и ако дължината на вала dx расте, ще расте и ъгълът на завъртането dφ. Но съотношението dφ/dx си стои постоянно и е също като da пропорционално на въртящия момент М (разбира се при един и същи радиус r на вала). Това съотношение се нарича относителен ъгъл на усукването ϴ = dφ/dx и е пропорционално на въртящия момент М на вала (М и ϴ са пропорционални). Слагаме тези символи в закона на Хук и получаваме
     Т = da.G = G. r.dφ/dx = G.r.ϴ   или Т = G.r.ϴ   Тук при постоянен въртящ момент М и ϴ е постоянно, а и G (модулът, характеризиращ материала) също е константа. Вижда се, че при различен радиус r ще имаме различно напрежение Т, т. е. Т е функция на радиуса или Т = f(r).
  В предния пост тръгнах от това уравнение    Сумата(dM) = M = 2пТ.Сумата(r.r.dr), което записано с математическите символи е ето това               
                                   М=2πТ(ус)∫▒〖r^2 dr〗
   Тук Т(усукване) както казахме е функция на разстоянието r до геометричната ос на вала Т(ус) = G.r.ϴ   Заместваме в горната формула Т(ус) с неговото равно и получаваме
            М=2πGϴ∫▒〖r^3 dr〗  = 2πGϴ (r^4  )/4  =  1/2 πGϴ r^4
  Като преминем от радиуси към диаметри (2r = d), получаваме
                      M=Gϴ 〖π d〗^4/32  за плътен некух вал
   А за кух вал с вътрешен диаметър d и външен диаметър D:
                      M=Gϴ π/32  (D^4- d^4)
   Тук също се вижда, че при постоянни геометрични размери на вала, въртящият момент М е пропорционален на ϴ понеже G=const (модула на еластичност на материала). ϴ=dφ /dx   e усукването на единица дължина. Значи ако вземем един метър вал, ще знаем при какъв въртящ момент ще се усуче на определен ъгъл на завъртане φ. Ако вземем два метра вал, при същия въртящ момент ще имаме ъгъл на завъртане 2φ и т. н. А стойността на модула на еластичност при усукване G се взема от справочниците за съответните материали.
   Сега да заменим в горното уравнение Gϴ с неговото равно от закона на Хук  Т = G.r.ϴ ,     (Gϴ= Т/r )
                        M=  Т/r   π/32  (D^4- d^4)
  Казахме че напрежението Т е най-голямо в периферията на вала, където радиусът е R. Можем да заместим   Т/r  с Т(max)/R
                        M=  (Т(mах))/R   π/32  (D^4- d^4)
   Остава само да преминем от радиус към диаметър (2R = D).
                      M=  (Т(mах))/D   π/16  (D^4- d^4)
   И последно: 
                      M= Т(mах)  π/16  (D^3-d^4/D  )
   Най-накрая стигнахме до елементарна връзка между приложения на вала въртящ момент М и максимално допустимото за дадения материал напрежение Т(mах). Тази формула е за кух вал с вътрешен диаметър d и външен диаметър D. Ако валът не е кух просто слагаме за d нула и втората дроб изчезва.      M= [Т(mах).π.D^3]/16   
    Като знаем какъв въртящ момент ще има на вала, лесно можем да сметнем от тази формула какъв да бъде неговия диаметър. Стойността на Т(mах) в Паскали [Pa] се взема от справочниците за съответните материали.
п. п. Гледам че формулите не излизат в шрифта както съм ги писал. Цял ден се рових за да изглеждат уж добре, но не би. Затова прилагам и текстов файл ако някой пожелае да ги види както трябва.

[juliang]

Я виж това същит резултати ли дава: https://amesweb.info/Torsion/torsion-of-shaft-calculator.aspx

[Иван Димов]

   Малко трудно се оправих понеже те използват формулата чрез относителния ъгъл на усукването ϴ = dφ/dx. Според мен по-удобно би било като входни данни да се използва максимално допустимото напрежение на усукване Т(max). Ето я формулата на Хук при усукване (плъзгане):
                  T = YG
  То по-добре да я запишем така: G = T/Y
Модулът на усукване G=const, което ще рече, че както расте напрежението на усукване Т, така ще расте и ъгълът на усукването Y. Когато G започне да се променя с напрягането на вала, значи вече еластичността преминава в пластичност. Модулът на еластично усукване G се определя от силата, с която усукваме материала, разделена на ъгъла на усукване Y. Така че имаме данни освен за модула, още и за максималното напрежение, при което еластичната деформация преминава в пластична. И вместо да се затормозяваме в ъглите на усукване, можем направо да използваме формулата 
                  M= [Т(mах).π.D^3]/16
Тя дава директна връзка между въртящ момент и диаметър на вала. Трябва само да вземем данните за максимално допустимото напрежение на усукване Т(mах).
   Иначе направих сметки по този калкулатор и има известна разлика от сметката по тази моя формула
                M=Gϴ π/32  (D^4- d^4)
Получих за въртящия момент 785N.m от моята формула, докато от калкулатора въртящият момент беше 1000 N.m.
   Сложих G=80GРa и получих за Т(mах)=5.1 МРа.

[dmitarp]

Много рядко един вал е натоварен на чисто усукване, а също така рядко се случва да е натоварен статично, обикновено натоварването е динамично циклично, така че тази формула е само една малка част от целият пъзел.

[juliang]

Затова и нещата се смятат грубо, след това всичко се произвежда и се изпитва в реални условия. Или се слага разумен коефициент на преоразмереост, когато става въпрос за единична бройка, която е нерентабилно да се тества.

[Иван Димов]

   Прилагам файл от учебник по съпромат, където има сметки и по двата начина. Даже открих печатна грешка може би. За G бяха сложили стойността 0,8.10^11, а вярното е както съм го коригирал в червено. Не знам защо са използвали такава стойност, на друго място гледам за стоманата G е от порядъка на 80 GPa. Тук е дадено и пределното напрежение на усукване Т=50МРа.

[dmitarp]

0,8.10^11 Pa и 80 GPa са една и съща стойност, така че върни си това което са написали. По скоро крайният резултат е грешен.

[Иван Димов]

   То е ясно, че са една и съща стойност, но за да излезе крайния резултат съм я променил. Въобще тази задача е объркана тотално. Горе за въртящия момент също има печатна грешка - там степента трябва да е 6, а не 3. И този въртящ момент ми се струва прекалено голям. Сметнато в килограми излиза, че в периферията на вала действа сила около 400 тона. Аз не съм много запознат с този вид техника, но ми се вижда прекалено голяма тази стойност.

[dmitarp]

Странна логика имаш, променяш всеизвестни константи, за да нагласиш очевидно грешния резултат. При тези мощности и ниски обороти нормално е да има такъв въртящ момент.

[Иван Димов]

   Понеже предположих, че крайният резултат е верен, та затова търсих някаква друга грешка. Иначе валът би трябвало да е с диаметър около 39 см. Пък може и нарочно да е променено G-то за да се получи преоразмеряване на вала.
   Друго интересно е, че двете формули дават различен резултат с грешка около 25%, което не ми харесва. Затова аз лично ще използвам само тази в приложения файл.         

[dmitarp]

Това са два вида оразмерявания и не бива да се съпоставят. За дълги валове освен якостно се прави и деформационно оразмеряване, защото ако има голямо усукване на вала между двигателя и консуматора, ще възникнат нежелани вибрации и закъснения ако са важни.